Villatoro Avilés, Victoria Sarahi (2023) Conjetura de Geometrización de Thurston. Other thesis, Universidad de El Salvador.

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Abstract

Resumen: Fue entre los años 1970 y 1980 que W. Thurston tomó conciencia de que muchos espacios de dimensión tres pueden ser geometrizados, al igual que las superficies. Estos incluyen la geometría esférica y la geometría hiperbólica al igual que la geometría euclidiana en dimensión tres; la geometría esférica y la geometría hiperbólica, que son análogas a las geometrías esférica e hiperbólica en dimensión 2. Sin embargo, hay también otras cinco geometrías mucho menos conocidas, llamadas las geometrías de Thurston. Su enfoque fue muy concreto, casi ‘experimental”. Así fue como logró, en 1976, formular su conjetura de geometrización. El objetivo de esta investigación fue ver como dicha conjetura se fue demostrando en numerosos casos significativos. Esto fue, justamente, lo que hizo Thurston y lo que lo llevo a tener la medalla “Fields” en 1983. No fue hasta 2002, con la aparición de un programa de Hamilton, que nos anunció que el flujo de Ricci podía convertirse en una potente herramienta para el estudio de las tres variedades. Esta fue una estrategia que él mismo diseñó para perseguir el ambicioso objetivo de probar la Conjetura de Geometrización usando el flujo de Ricci. Él mencionó que ésta se dividía en tres fases, posiblemente un poco difíciles, aunque también mencionó que se debía a que el flujo podía desarrollar singularidades locales antes de que seamos capaces de extraer conclusiones topológicas sobre la variedad original. Abstrac: It was between the 1970s and 1980s that W. Thurston became aware that many spaces of dimension three can be geometrized, as can surfaces. These include spherical geometry and hyperbolic geometry as well as Euclidean geometry in dimension three; spherical geometry and hyperbolic geometry, which are analogous to spherical and hyperbolic geometries in dimension two. His approach was quite concrete, nearly ’experimental’. This is how he managed, in 1976, to formulate his geometrization conjecture. The aim of this research was to see how this conjecture was proved in several significant cases. This was precisely what Thurston did and what led him to be awarded at the Fields Medal in 1983. It was not until 2002, with the appearance of a program by Hamilton, that he announced to us that the Ricci flow could become a powerful tool for the study of the three manifold . This was a strategy that he himself designed to pursue the ambitious goal of proving the Geometrization Conjecture using the Ricci flow. He mentioned that it was divided into three phases, possibly a bit difficult, although he also mentioned that this was because the flow could develop local singularities before we are able to draw topological conclusions about the original variety.

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